\section{Introducción teórica}
% \noindent Este trabajo consiste en filtrar imagenes con ruido utilizando algun criterio para los bordes métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones. El problema que utilizamos para analizarlos fue el del ruido en 
% las imágenes. Sabemos que las imágenes en una computadora se representan por matrices con respectivos valores en cada posición que nos revela el color de ese
% píxel en particular. De esta manera utilizando la función (3) (\textit{Ver enunciado}) tenemos una ecuación para cada píxel de la imagen. Entonces nos queda
% un sistema de $n*m$ ecuaciones donde $n$ es el ancho de la imagen y $m$ el alto. De esta manera podemos tomar una matriz $A$ de $(n*m)*(n*m)$ y un vector $b$ de $n*m$ para
% resolver $Ax = b$ donde el $x$ solución será solución de nuestro sistema de ecuaciones. Si analizamos como es la matriz $A$ podemos notar que es una matriz muy particular,
% que tiene muchos valores que son $0$. Esto se debe a que la manera de crearla es tomar a cada fila como una ecuación para 1 píxel, de esta manera en las columnas
% ponemos los valores correspondientes a los multiplicadores de cada píxel en la ecuación $(3)$. Veamos un ejemplo, para aclarar ideas, tomamos el píxel $(i,j)$
% veamos como es su ecuación:


\noindent
Este trabajo consiste en filtrar imágenes con ruido para ello utilizaremos métodos númericos que resuelven matrices. Otra finalidad de este trabajo es implementar un algoritmo para redimensionar imágenes.
\\
$ $
\\ 
Sabemos que las imágenes en una computadora se representan por matrices con respectivos valores en cada posición que nos revela el color de ese píxel en particular. De esta manera utilizando la función (3) (\textit{Ver enunciado}) tenemos una ecuación para cada píxel de la imagen. Entonces nos queda un sistema de $n*m$ ecuaciones donde $n$ es el ancho de la imagen y $m$ el alto. Es así como podemos tomar una matriz $A$ de $(n*m)*(n*m)$ y un vector $b$ de $n*m$ para resolver $Ax = b$ donde el $x$ solución será la solución de nuestro sistema de ecuaciones. Si analizamos como es la matriz $A$ podemos notar que es una matriz muy particular,
que tiene muchos valores que son $0$. Esto se debe a que la manera de crearla es tomar a cada fila como una ecuación para 1 píxel, de esta manera en las columnas
ponemos los valores correspondientes a los multiplicadores de cada píxel en la ecuación $(3)$. Veamos un ejemplo, para aclarar ideas, tomamos el píxel $(i,j)$
veamos como es su ecuación:

\begin{center}
 $\lambda u_{i,j} - \left( u_{i-1,j} + u_{i+1,j} + u_{i,j-1} + u_{i,j+1} - 4 u_{i,j} \right) = \lambda \tilde{u_{i,j}}$
\end{center}
entonces a partir de esta ecuación generamos la fila $i*n+j$ que es la fila correspondiente al píxel $(i,j)$ y en esta fila colocamos en la columnas correspondientes a los pixeles
$(i-1,j)$, $(i+1,j)$, $(i,j-1)$, $(i,j+1)$, $(i,j)$ los valores $-1$, $-1$, $-1$, $-1$, $\lambda+4$ respectivamente y el resto de las columnas son $0$. Hacemos esto para todos los pixeles 
(tratando con cuidado los bordes dado que no tienen píxeles a algunos costados).
Y en el vector $b$, en la posición correspondiente al píxel $(i,j)$, es decir la posición $i*n+j$, colocamos todos los valores que son dato, o sea $\lambda$ y los valores que surgen del criterio de los bordes. De esta manera ya nos queda generada
la ecuación matricial que debemos resolver y para resolver estos problemas conocemos varios algoritmos.
\\
$ $
\\
Para la resolución de ecuaciones matriciales vimos en la materia el método de Gauss que consiste en triangular la matriz a partir de transformaciones lineales.
Una vez triangulada la matriz es ``fácil'' calcular $x$ dado que es una matriz triangular y vimos en la materia que se pueden resolver en tiempo $O(n^2)$. Otros
algoritmos para resolver estos problemas son el de la factorización LU o QR.
 